srinivasa ramanujar essay

ஸ்ரீநிவாச இராமானுஜர்

காஸ், கும்மர் மற்றும் மிகைப்பெருக்கத் தொடர்களுக்கான விளைவுகளை தனி ஒரு ஆளாக இருந்து கண்டுபிடித்தவர், ஸ்ரீநிவாச இராமானுஜன். மிகைப்பெருக்கத் தொடரின் பகுதி தொகைகளையும், பொருட்களையும் ஆய்வு செய்வதில் அவர் காட்டிய ஆர்வமே அவருடைய பெரும்வளர்ச்சிக்கு வழிவகுத்தது. இவர் குறுகிய காலங்களிலேயே, (அதாவது 1914ஆம் ஆண்டு முதல் 1918ஆம் ஆண்டு வரை) 3000க்கும் அதிகமான புதுக் கணிதத் தேற்றங்களைக் கண்டுபிடித்தார்.

பிறப்புடிசம்பர் 22, 1887
பிறப்பிடம்ஈரோடு, தமிழ்நாடு, இந்தியா
இறப்புஏப்ரல் 26, 1920
பணிகணித மேதை, பேராசிரியர்
நாட்டுரிமைஇந்தியா

 

kanitha methai ramanujar

இராமானுசன் அவர்களுக்கு கணிதத்தில் மிகுதியான ஆர்வமும், தனிச்சிறப்பு தன்மையும் இருந்தது. அவர் 20 ஆம் நூற்றாண்டின் உலகத்தை வியக்கச் செய்த ஒப்பரிய பெரும் கணித மேதையாக திகழ்ந்தார்.

 இராமானுசன் அவர்களின் குறிப்பிடத்தக்க கணிதத் தேற்றங்களில் சில – ‘எண்களின் பகுப்பாய்வு கோட்பாடு’, ‘நீள்வளையச்சார்புகள்’, ‘தொடரும் பின்னங்கள்’, மற்றும் ‘முடிவிலா தொடர்’.

srinivasa ramanujar

பிறப்பு

ஸ்ரீனிவாச ஐயங்கார் ராமானுஜன் அவர்கள் தமிழ்நாட்டிலுள்ள ஈரோடு மாவட்டத்தில் டிசம்பர் 22ஆம் தேதி, 1887ல் பிறந்தார். 

அவரது தந்தை கும்பகோணத்திலுள்ள ஒரு துணி வியாபாரியின் கடையில் குமாஸ்தாவாக பணியாற்றினார்.

 

ஆரம்ப வாழ்க்கையும், கல்வியும்

ராமானுஜன் அவர்கள் தனது ஐந்தாம் வயதில், கும்பகோணத்திலுள்ள ஆரம்ப பள்ளிக்குச் சென்றார். 1898ல், தனது 10 ஆம் வயதில், அவர் கும்பகோணத்திலுள்ள டவுன் உயர்நிலைப் பள்ளியில் சேர்ந்தார். 

தனது பதினொரு வயதில், அவர் தன் வீட்டில் குடியிருந்த இரண்டு கல்லூரி மாணவர்களிடமிருந்து எஸ்.எல்.லோனி அவர்கள் எழுதிய மேம்பட்ட கோணவியல் புத்தகத்தை வாங்கிப் படித்தார். 

அப்புத்தகத்தை, அவர் தன் பதிமூன்று வயதிலேயே முற்றும் கற்றுத் தேர்ச்சியடைந்தார். ராமானுஜன் அவர்கள், உயர்நிலை பள்ளியில் கல்வியில் சிறந்த மாணவனாக விளங்கி பல பரிசுகள் வென்றார்.

 

கணிதத்தின் மீது ஏற்பட்ட பற்று

தனது பதினாறு வயதில் அவர் பெற்ற “எ சினாப்சிஸ் ஆஃப் எலமெண்டரி ரிசல்ட்ஸ் இன் ப்யூர் அண்ட் அப்லைட் மாதேமேட்டிக்ஸ்” என்ற புத்தகமே அவருடைய வாழ்வில் ஒரு திருப்புமுனையாக இருந்தது. 

அப்புத்தகம் எளிதான ஆயிரக்கணக்கான கணித முடிவுகளின் ஒரு தொகுப்பாகும். இந்த புத்தகமே கணிதத்தின் மீது ராமானுஜன் அவர்கள் வைத்திருந்த ஆர்வத்தை இன்னும் மேம்படுத்தியது. 

அவர், அப்புத்தகத்தில் பல கணித முடிவுகளை ஆய்வு செய்து அப்பாற்பட்ட விளைவுகளை வெளிக்கொண்டு வந்தார். 1904ல், ராமானுஜன் அவர்கள் கணிதத்தில் ஆழ்ந்த ஆராய்ச்சியை மேற்கொண்டார். அவர், தொடர் (1/n)ஐ ஆய்வு செய்து, 15 தசம இடங்களுக்கு ஆய்லரின் மாறிலியைக் கணக்கிட்டார். 

பெர்னோலியின் எண்கள் அவரது சொந்த சுயாதீனமான கண்டுபிடிப்பாக இருந்தாலும், அதை அவர் தொடர்ந்து படிக்கத் தொடங்கினார். கும்பகோணம் அரசு கல்லூரி, அவருக்கு 1904 ஆம் ஆண்டில் உதவித்தொகை வழங்கியது. 

ஆனால், அவர் கணிதத்தின் மீது வைத்திருந்த பற்றால், மற்ற பாடங்களில் தேர்ச்சிப் பெறாமல் கல்லூரி தேர்வில் தோல்வியுற்றார். இதன் காரணமாக அவர் கல்லூரியில் இருந்து நீக்கப்பட்டார்.

நண்பர்களின் உதவியாலும், கணித கண்டுபிடிப்புகளை பூர்த்தி செய்தும், தனது கண்டுபிடிப்பகளுக்கு ஆதரவு கோரியும் அவர் தன் வாழ்கையை நடத்தினார். 1906ல், ராமானுஜன் அவர்கள் சென்னையிலுள்ள பச்சையப்பா கல்லூரியில் சேர்ந்தார்.

 சென்னை பல்கலைக்கழகத்தில் சேர வேண்டுமென்ற ஆர்வம் அவருக்கு இருந்ததால், முதல் கலை தேர்வில் தேர்ச்சிப் பெற வேண்டுமென்ற நோக்கம் கொண்டிருந்தார். தனது கணித வேலையின் தொடர்ச்சியாக ராமானுஜன் அவர்கள் 1908ல் தொடரும் பின்னங்கள் மற்றும் மாறுபட்ட தொடரைப் படித்தார். 

இச்சூழ்நிலையில் அவரது உடல்நிலை குன்றி தீவிரமாக பாதிக்கப்பட்டதால், 1909ல் அவர் அறுவை சிகிச்சை மேற்கொண்டார். அதிலுருந்து மீண்டு வர அவருக்கு குறுகிய காலம் தேவைப்பட்டது.

இல்லற வாழ்க்கை

பத்து வயது பெண்னான எஸ்.ஜானகி அம்மாள் அவர்களை, ஜூலை மாதம் 14 ஆம் தேதி, 1909ல் ராமானுஜன் அவர்கள் திருமணம் செய்தார்.

 இந்த காலத்தில் தனது முதல் படைப்பான ‘பதினேழு பக்க பெர்னோலியின் எண்களை’ வெளியிட்டார். இது 1911ல், ‘இந்திய கணித சங்கம்’ என்ற இதழில் வெளியானது.

ராமானுஜர் மேற்கொண்ட பணிகள்

1911ல் ராமானுஜன் அவர்கள், இந்திய கணித கழகத்தின் நிறுவனரை தனது வேலை ஆலோசனைக்காக அணுகினார். இந்திய கணித மேதை ராமச்சந்திர ராவ் உதவியதால், அவருக்கு சென்னை துறைமுகத்தில் குமாஸ்தா வேலை கிடைத்தது. சென்னை பொறியியல் கல்லூரியில் கட்டடப் பொறியியல் பேராசிரியராக இருந்த சி.எல்.டி. கிரிப்பித் என்பவர் ராமானுஜன் அவர்களின் திறமைகளில் ஆர்வம் கொண்டவராக இருந்தார். அவர் லண்டன் பல்கலைக்கழக கல்லூரியில் கல்வி கற்றதால், அங்குள்ள கணித பேராசிரியர், எம்.ஜே.எம். ஹில் என்பவரை அவருக்குத் தெரியும். அதனால், அவர் 1911ல் வெளியான ராமானுஜன் அவர்களின் பெர்னோலியின் எண்களின் சில நகலை நவம்பர் 12ஆம் தேதி, 1912 ஆம் ஆண்டு ஹில்லுக்கு அனுப்பி வைத்தார். ஹில் அவர்கள், அதை ஊக்குவிக்கும் வகையில், ராமானுஜத்தின் ‘வேறுபட்ட தொடர் முடிவுகள் (Results On Divergent Series) புரிந்து கொள்ளும் அளவிற்கு இல்லை’ என்று பதிலளித்தார். 1910ல் வெளியான ராமானுஜன் அவர்களின் ‘முடிவிலியின் வகைமுறை’ (Orders Of Infinity ) புத்தகத்தின் நகலை, ஜி.ஹெச். ஹார்டி என்பவருக்கு ராமானுஜர் அனுப்பி வைத்தார். ராமானுஜன் அவர்கள் கடிதத்துடன் இணைத்த மெய்ப்பிக்கப்படாத தேற்றங்களின் நீண்ட பட்டியலை, ஹார்டி, லிட்டில்வுட் என்பவருடன் இணைந்துப் படித்தார். ராமானுஜன் அவர்களின் தேற்றங்கள் தெளிவாக புரிந்தால், ஹார்டி அவருடன் சேர்ந்து பணிபுரிய விரும்புவதாக பதில் கடிதம் எழுதினார்.

கணிதத்தில் ராமனுஜரின் சாதனைகள்

மே மாதம் 1913ல், சென்னை பல்கலைக்கழகம் ராமானுஜன் அவர்களுக்கு, இரண்டு ஆண்டுகளுக்கான உதவித்தொகை வழங்கியது. 1914ல், ராமானுஜத்தின் அசாதாரண ஒத்துழைப்பை இணைந்து தொடங்குவதற்காக கேம்ப்ரிட்ஜிலுள்ள ட்ரினிட்டி கல்லூரிக்கு அவரை வரவழைத்தார். ஹார்டி மற்றும் ராமானுஜன் அவர்களின் கூட்டணி பல முக்கியமான ஆய்வுகளுக்கு வழிவகுத்தது. ஹார்டி அவர்களுடனான கூட்டு அறிக்கையில், ராமானுஜன் அவர்கள் ‘ப(n) என்ற அணுகுமுறையின் சூத்திரத்தைக்’ (Asymptotic Formula for p(n)) கொடுத்தார். இந்த ப(n) சரியான மதிப்பைக் கொடுக்கும் தன்மையைக் கொண்டது. பின்னர், ரேட்மேக்கர் என்பவர் இதனை நிரூபித்தார்.

லண்டனில் குடியேற ராமானுஜன் அவர்களுக்கு பல பிரச்சினைகள் இருந்தது. அவர் ஒரு ஆச்சாரமான பிராமண குடும்பத்தை சேர்ந்தவர் என்பதால், ஆரம்பத்திலிருந்து அவருக்கு உணவு பிரச்சினைகளும் இருந்தது. ராமானுஜன் அவர்களுக்கு நீண்ட காலமாகவே உடல்நல பிரச்சினைகள் இருந்ததால், முதல் உலக போர் வெடித்தபோது உணவுப் பொருட்கள் கிடைக்க மிகவும் அவதிப்பட்டார்.

மார்ச் 16, 1916 ஆம் ஆண்டு ராமானுஜன் அவர்கள் அறிவியலில் ஆராய்ச்சிக்கான இளங்கலை பட்டத்தைக் கேம்ப்ரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகம் மூலமாக பெற்றார். அவருக்கு சரியான தகுதிகள் இல்லாத போதிலும் 1914 ஜூனில் நடந்த சேர்ப்பில் அனுமதிக்கப்பட்டார். ராமானுஜத்தின் ஏழு ஆவணங்களைக் கொண்ட உயர் கலப்பு எண்களின் (Highly Composite Numbers) விளக்கவுரை இங்கிலாந்தில் வெளியிடப்பட்டது.

இறப்பு

1917ல், ராமானுஜன் அவர்கள் கடுமையாக நோய்வாய்ப்பட்டார், ஆகவே, அவரது மருத்துவர்கள் அவர் இறந்துவிட கூடும் என்று அஞ்சினர். செப்டம்பரில் அவருடைய உடல்நிலை சிறிதளவு மேம்பட்டாலும், அவர் தனது பெரும்பாலான நேரத்தைப் பல்வேறு மருத்துவமனைகளிலேயே செலவிட்டார். பிப்ரவரி 18, 1918ல், கேம்பிரிட்ஜ் ஃபிலோசஃபிக்கல் சொசைட்டியின் ஒரு உறுப்பினராக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார். பின்னர், லண்டன் ராயல் சொசைட்டியும் அவரைத் தேர்ந்தெடுத்தது.

1918ஆம் ஆண்டு, நவம்பர் இறுதியில் ராமானுஜன் அவர்களின் உடல்நிலை பெரிதும் மேம்பட்டது. பின்னர், அவர் பிப்ரவரி மாதம் 27ஆம் தேதி 1919ஆம் ஆண்டு கடல்வழியாக இந்தியா புறப்பட்டு மார்ச் 13 ம் தேதி வந்து சேர்ந்தார். மருத்துவ சிகிச்சை இருந்த போதிலும், அவரது உடல்நலம் குன்றியதால், ஏப்ரல் 6, 1920 அன்று இறந்தார்.

Srinivasa Ramanujan History

Srinivasa Ramanujan was an indian mathematician who lived in India during the British Rule in India. Ramanujan had almost no formal training in mathematics. he made substantial contributions to mathematical analysis, number theory,infinite series, and continued fractions including solutions to maths problems then considered unsolvable.

Srinivasa Ramanujan Early Life

Ramanujan was born on 22 December 1887 into a Tamil family in Erode, Madras presidency  (Tamilnadu ) at the residence of his maternal grandparents his father kuppuswamy Srinivasa iyengar originally from thanjavu district worked as a clerk in sari shop.

A child prodigy by age 11, he had exhausted the mathematical knowledge of two college students who were lodgers at his home. He was later lent a book written by S. L. Loney on advanced trigonometry. He mastered this by the age of 13 while discovering sophisticated theorems on his own. By 14 he received merit certificates and academic awards that continued throughout his school career, and he assisted the school in the logistics of assigning its 1,200 students (each with differing needs) to its approximately 35 teachers.27 He completed mathematical exams in half the allotted time, and showed a familiarity with geometry and infinite series. Ramanujan was shown how to solve cubic equations in 1902; he developed his own method to solve the quartic. The following year he tried to solve the quintic, not knowing that it could not be solved by radicals.

In 1903, when he was 16, Ramanujan obtained from a friend a library copy of A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics, G. S. Carr’s collection of 5,000 theorems.:39 Ramanujan reportedly studied the contents of the book in detail. The book is generally acknowledged as a key element in awakening his genius. The next year Ramanujan independently developed and investigated the Bernoulli numbers and calculated the Euler–Mascheroni constant up to 15 decimal places.90 His peers at the time said they “rarely understood him” and “stood in respectful awe” of him.:27

When he graduated from Town Higher Secondary School in 1904, Ramanujan was awarded the K. Ranganatha Rao prize for mathematics by the school’s headmaster, Krishnaswami Iyer. Iyer introduced Ramanujan as an outstanding student who deserved scores higher than the maximum. He received a scholarship to study at Government Arts College, Kumbakonam, but was so intent on mathematics that he could not focus on any other subjects and failed most of them, losing his scholarship in the process.:47 In August 1905 Ramanujan ran away from home, heading towards Visakhapatnam, and stayed in Rajahmundry for about a month.:47–48 He later enrolled at Pachaiyappa’s College in Madras. There he passed in mathematics, choosing only to attempt questions that appealed to him and leaving the rest unanswered, but performed poorly in other subjects, such as English, physiology, and Sanskrit. Ramanujan failed his Fellow of Arts exam in December 1906 and again a year later. Without an FA degree, he left college and continued to pursue independent research in mathematics, living in extreme poverty and often on the brink of starvation.

In 1910, after a meeting between the 23-year-old Ramanujan and the founder of the Indian Mathematical Society, V. Ramaswamy Aiyer, Ramanujan began to get recognition in Madras’s mathematical circles, leading to his inclusion as a researcher at the University of Madras.

Adulthood in India

On 14 July 1909, Ramanujan married Janaki (Janakiammal; 21 March 1899 – 13 April 1994), a girl his mother had selected for him a year earlier and who was ten years old when they married It was not unusual then for marriages to be arranged with girls at a young age. Janaki was from Rajendram, a village close to Marudur (Karur district) Railway Station. Ramanujan’s father did not participate in the marriage ceremonies was common at that time, Janaki continued to stay at her maternal home for three years after marriage, till she reached puberty. In 1912, she and Ramanujan’s mother joined Ramanujan in Madras.

After the marriage, Ramanujan developed a hydrocele testis.[14]:72 The condition could be treated with a routine surgical operation that would release the blocked fluid in the scrotal sac, but his family could not afford the operation. In January 1910, a doctor volunteered to do the surgery at no cost.[30]

After his successful surgery, Ramanujan searched for a job. He stayed at a friend’s house while he went from door to door around Madras looking for a clerical position. To make money, he tutored students at Presidency College who were preparing for their F.A. exam

In late 1910, Ramanujan was sick again. He feared for his health and told his friend R. Radhakrishna Iyer to “hand [his notebooks] over to Professor Singaravelu Mudaliar [the mathematics professor at Pachaiyappa’s College] or to the British professor Edward B. Ross, of the Madras Christian College.:74–75 After Ramanujan recovered and retrieved his notebooks from Iyer, he took a train from Kumbakonam to Villupuram, a city under French control. In 1912, Ramanujan moved with his wife and mother to a house in Saiva Muthaiah Mudali Street, George Town, Madras, where they lived for a few months. In May 1913, upon securing a research position at Madras University, Ramanujan moved with his family to Triplicane.

The pursuit of a career in mathematics

In 1910, Ramanujan met deputy collector V. Ramaswamy Aiyer, who founded the Indian Mathematical Society. Wishing for a job at the revenue department where Aiyer worked, Ramanujan showed him his mathematics notebooks. As Aiyer later recalled:

I was struck by the extraordinary mathematical results contained in [the notebooks]. I had no mind to smother his genius by an appointment in the lowest rungs of the revenue department.

Aiyer sent Ramanujan, with letters of introduction, to his mathematician friends in Madras. Some of them looked at his work and gave him letters of introduction to R. Ramachandra Rao, the district collector for Nellore and the secretary of the Indian Mathematical Society. Rao was impressed by Ramanujan’s research but doubted that it was his own work. Ramanujan mentioned a correspondence he had with Professor Saldhana, a notable Bombay mathematician, in which Saldhana expressed a lack of understanding of his work but concluded that he was not a fraud. Ramanujan’s friend C. V. Rajagopalachari tried to quell Rao’s doubts about Ramanujan’s academic integrity. Rao agreed to give him another chance and listened as Ramanujan discussed elliptic integrals, hypergeometric series, and his theory of divergent series, which Rao said ultimately convinced him of Ramanujan’s brilliance.[14]:80 When Rao asked him what he wanted, Ramanujan replied that he needed work and financial support. Rao consented and sent him to Madras. He continued his research with Rao’s financial aid. With Aiyer’s help, Ramanujan had his work published in the Journal of the Indian Mathematical Society.

 

Life in England

Ramanujan (center) and his colleague G. H. Hardy (extreme right), with other scientists, outside the Senate House, Cambridge, c.1914–19

Whewell’s Court, Trinity College, Cambridge
Ramanujan departed from Madras aboard the S.S. Nevasa on 17 March 1914. When he disembarked in London on 14 April, Neville was waiting for him with a car. Four days later, Neville took him to his house on Chesterton Road in Cambridge. Ramanujan immediately began his work with Littlewood and Hardy. After six weeks Ramanujan moved out of Neville’s house and took up residence on Whewell’s Court, a five-minute walk from Hardy’s room. Hardy and Littlewood began to look at Ramanujan’s notebooks. Hardy had already received 120 theorems from Ramanujan in the first two letters, but there were many more results and theorems in the notebooks. Hardy saw that some were wrong, others had already been discovered, and the rest were new breakthroughs. Ramanujan left a deep impression on Hardy and Littlewood. Littlewood commented, “I can believe that he’s at least a Jacobi”, while Hardy said he “can compare him only with Euler or Jacobi.

Ramanujan spent nearly five years in Cambridge collaborating with Hardy and Littlewood and published part of his findings there. Hardy and Ramanujan had highly contrasting personalities. Their collaboration was a clash of different cultures, beliefs, and working styles. In the previous few decades the foundations of mathematics had come into question and the need for mathematically rigorous proofs recognized. Hardy was an atheist and an apostle of proof and mathematical rigor, whereas Ramanujan was a deeply religious man who relied very strongly on his intuition and insights. Hardy tried his best to fill the gaps in Ramanujan’s education and to mentor him in the need for formal proofs to support his results, without hindering his inspiration—a conflict that neither found easy.

Ramanujan was awarded a Bachelor of Science degree by research (this degree was later renamed Ph.D.) in March 1916 for his work on highly composite numbers, the first part of which was published as a paper in the Proceedings of the London Mathematical Society. The paper was more than 50 pages long and proved various properties of such numbers. Hardy remarked that it was one of the most unusual papers in mathematical research at that time and that Ramanujan showed extraordinary ingenuity in handling it.[citation needed] On 6 December 1917, Ramanujan was elected to the London Mathematical Society. On 2 May 1918, he was elected a Fellow of the Royal Society, the second Indian admitted after Ardaseer Cursetjee in 1841. At age 31 Ramanujan was one of the youngest Fellows in the history of the Royal Society. He was elected “for his investigation in Elliptic functions and the Theory of Numbers.” On 13 October 1918 he was the first Indian to be elected a Fellow of Trinity College, Cambridge.

 

Illness and death

Ramanujan was plagued by health problems throughout his life. His health worsened in England; possibly he was also less resilient due to the difficulty of keeping to the strict dietary requirements of his religion there and because of wartime rationing in 1914–18. He was diagnosed with tuberculosis and a severe vitamin deficiency and confined to a sanatorium. In 1919 he returned to Kumbakonam, Madras Presidency, and in 1920 he died at the age of 32. After his death his brother Tirunarayanan compiled Ramanujan’s remaining handwritten notes, consisting of formulae on singular moduli, hypergeometric series, and continued fractions.

Ramanujan’s widow, Smt. Janaki Ammal moved to Bombay; in 1931 she returned to Madras and settled in Triplicane, where she supported herself on a pension from Madras University and income from tailoring. In 1950 she adopted a son, W. Narayanan, who eventually became an officer of the State Bank of India and raised a family. In her later years she was granted a lifetime pension from Ramanujan’s former employer, the Madras Port Trust, and pensions from, among others, the Indian National Science Academy and the state governments of Tamil Nadu, Andhra Pradesh, and West Bengal. She continued to cherish Ramanujan’s memory, and was active in efforts to increase his public recognition; prominent mathematicians, including George Andrews, Bruce C. Berndt, and Béla Bollobás made it a point to visit her while in India. She died at her Triplicane residence in 1994.

A 1994 analysis of Ramanujan’s medical records and symptoms by Dr. D. A. B. Young concluded that his medical symptoms—including his past relapses, fevers, and hepatic conditions—were much closer to those resulting from hepatic amoebiasis, an illness then widespread in Madras, than tuberculosis. He had two episodes of dysentery before he left India. When not properly treated, dysentery can lie dormant for years and lead to hepatic amoebiasis, whose diagnosis was not then well established. At the time, if properly diagnosed, amoebiasis was a treatable and often curable disease; British soldiers who contracted it during the First World War were being successfully cured of amoebiasis around the time Ramanujan left England.

 

Personality and spiritual life

Ramanujan has been described as a person of a somewhat shy and quiet disposition, a dignified man with pleasant manners. He lived a simple life at Cambridge. Ramanujan’s first Indian biographers describe him as a rigorously orthodox Hindu. He credited his acumen to his family goddess, Namagiri Thayar (Goddess Mahalakshmi) of Namakkal. He looked to her for inspiration in his work and said he dreamed of blood drops that symbolized her consort, Narasimha. Afterward he would receive visions of scrolls of complex mathematical content unfolding before his eyes. He often said, “An equation for me has no meaning unless it represents a thought of God.”

Hardy cites Ramanujan as remarking that all religions seemed equally true to him. Hardy further argued that Ramanujan’s religious belief had been romanticized by Westerners and overstated—in reference to his belief, not practice—by Indian biographers. At the same time, he remarked on Ramanujan’s strict vegetarianism.

 

The Ramanujan conjecture

Main article: Ramanujan–Petersson conjecture
Although there are numerous statements that could have borne the name Ramanujan conjecture, one was highly influential on later work. In particular, the connection of this conjecture with conjectures of André Weil in algebraic geometry opened up new areas of research. That Ramanujan conjecture is an assertion on the size of the tau-function, which has as generating function the discriminant modular form Δ(q), a typical cusp form in the theory of modular forms. It was finally proven in 1973, as a consequence of Pierre Deligne’s proof of the Weil conjectures. The reduction step involved is complicated. Deligne won a Fields Medal in 1978 for that work.

In his paper “On certain arithmetical functions”, Ramanujan defined the so-called delta-function, whose coefficients are called τ(n) (the Ramanujan tau function). He proved many congruences for these numbers, such as τ(p) ≡ 1 + p11 mod 691 for primes p. This congruence (and others like it that Ramanujan proved) inspired Jean-Pierre Serre (1954 Fields Medalist) to conjecture that there is a theory of Galois representations that “explains” these congruences and more generally all modular forms. Δ(z) is the first example of a modular form to be studied in this way. Deligne (in his Fields Medal-winning work) proved Serre’s conjecture. The proof of Fermat’s Last Theorem proceeds by first reinterpreting elliptic curves and modular forms in terms of these Galois representations. Without this theory there would be no proof of Fermat’s Last Theorem.

Ramanujan’s notebooks
Further information: Ramanujan’s lost notebook
While still in Madras, Ramanujan recorded the bulk of his results in four notebooks of looseleaf paper. They were mostly written up without any derivations. This is probably the origin of the misapprehension that Ramanujan was unable to prove his results and simply thought up the final result directly. Mathematician Bruce C. Berndt, in his review of these notebooks and Ramanujan’s work, says that Ramanujan most certainly was able to prove most of his results, but chose not to.

This may have been for a number of reasons. Since paper was very expensive, Ramanujan would do most of his work and perhaps his proofs on the slate, and then transfer just the results to paper. Using a slate was common for mathematics students in the Madras Presidency at the time. He was also quite likely to have been influenced by the style of G. S. Carr’s book, which stated results without proof. Finally, it is possible that Ramanujan considered his work to be for his personal interest alone and therefore recorded only the results.

The first notebook has 351 pages with 16 somewhat organized chapters and some unorganized material. The second has 256 pages in 21 chapters and 100 unorganized pages and the third 33 unorganized pages. The results in his notebooks inspired numerous papers by later mathematicians trying to prove what he had found. Hardy himself wrote papers exploring material from Ramanujan’s work, as did G. N. Watson, B. M. Wilson, and Bruce Berndt. In 1976, George Andrews rediscovered a fourth notebook with 87 unorganized pages, the so-called “lost notebook”.

Leave a comment